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B07f81b7b08b572ac091d5e3f48ac46e 前些陣子Facebook新增民調問答功能,許多人開始設計問題、大家也樂的上網作答。不過有一題基本加減乘除運算的國小程度數學題,卻讓幾近半數的作答者答錯,究竟是怎麼回事?如果數學不好的話,其實可以先問問Google大神。

數學習題到底是該由左至右運算亦或先解括弧算式?最近這題「6÷2(1+2)」真是紅透半邊天,甚至變成新聞題材、立委在立法院質詢的題目(因為記者考立委許多人答錯,立委惱怒在立法院質詢教育部次長出氣?)

▲Facebook民調問答中最火紅的題目,答錯的人幾乎快跟答對的人一樣多。

「6÷2(1+2)」這題其實是略帶陷阱題的意味,因為乘法符號可以省略,許多人忘掉先乘除後加減的前提下,運算必須是由左到右,因此得到錯誤的答案。

加減乘除運算原則:

  • 先乘除後加減
  • 先解括弧算式,由小括弧、中括弧到大括弧
  • 由左而右運算

 

正確答案是:

6÷2(1+2)
=6÷2*(1+2)
=6÷2*3
=3*3
=9

其實貼心的Google也可以幫大家解數學題,直接把整個數學題複製貼上到Google搜尋中,Google就會幫你算好。

▲Google幫你解數學題。

Google還統計了4月份Google熱門難解數學題關鍵字搜尋排行榜,最近共有3個數學題相當火紅:

Google熱門難解數學題關鍵字搜尋排行榜:

  • 6÷2(1+2)
  • 30÷2(2+3)÷5
  • 48÷2(9+3)

不要再說這篇是業配文了,我們也試著把問題丟到Yahoo!奇摩搜尋、bing搜尋引擎,可是事實證明沒有這麼便民。

▲Yahoo!奇摩搜尋,雖然沒有告訴你答案,倒是呈現相當多新聞,點進去網頁才能看到解答。

▲bing搜尋引擎,分別出現msdn網頁、MAT2.0反恐行動、中華人民共和國歷史。

除了算數之外,Google搜尋還兼具單位換算、貨幣換算、烹飪換算、時差換算等功能,甚至還能幫大家查詢電影戲院場次、翻譯英文單字等功能。有些新同學對Google搜尋可能沒這麼熟,這邊一併推薦給你。

▲聽說在香港賣的Apple商品價格無敵便宜,直接換算一下匯率看香港新款iMac賣多少台幣。

▲英文不好的人,直接把英文單字貼上搜尋一下,讓Google翻譯告訴你解答。

▲有點想看電影,Google還會依照IP位置查詢附近戲院以及場次表。

延伸閱讀:

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4.  mcc (發表於 2011年5月05日 19:18)
你的括號本來就改變了運算順序...
有啥好死不死的
樓上數學不太好...
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5.  Likey (發表於 2011年5月05日 20:03)
Google給的答案也偷改了運算順序唷!
其實題目本來就是有瑕疵的
如果把刻意省略的乘號又給吐出來
可能就有人要寫 6÷2x=3x 啦www
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6.  cccooler (發表於 2011年5月05日 20:24)
熱門難解數學題關鍵字搜尋排行榜裡的三題其實都是同一個問題

(2x+4y)可以寫成2(1x+y),
但有人會把(2+4)寫成2(1+2)嗎?
你可以說(2+4)=2x(1+2),
但如果省略寫成2(1+2)就很奇怪。
2(1+2)=(2)(1+2)=(2)(3)=6 <---??????????
有人會把6表示成(2)(3)嗎?
再怎麼寫也應該是2x3吧!

此題不管是理解成
6÷2x(1+2)=9
6÷ (2+4)=1
都不能說全對也不能說全錯,
替題意不清的題目「合理化」是的人之常情!!
因此,不管是解得9或1都是解題者自行點理化原題的結果。

google解得9也是因為它的運算程式碰巧遇到此類算式是這樣處理,不能說它就是正解。況且,解得1的計算機亦所在多有!

而如今演變為9是正解,解得1的人被譏為國小程度都不如,誠可謂是多數暴力!但科學絕非多數決!
主張9的人,或許可以振振有辭的說「四則本應由左而右算」,
卻又無法解釋2x(1+2)寫成2(1+2)的荒謬。
主張1的人,將6理解成2(1+2)也完全是因為習慣於代數運算而將算法自行延伸的結果。

總之,一個「不對」的題目又怎能奢求它有一個「對」的答案?




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8.  由左至右 (發表於 2011年5月05日 21:08)
"由左至右"這點你完全無視然後開始講1沒有錯...
問個簡單點的問題
6 ÷ 2 x 2 = ?
依照你的邏輯答案是否為1.5 ?
但事實上依據由左至右的原則
先處理6 ÷ 2 = 3
再來運算 3 x 2 = 6

這時候你又要說..兩者都對??

不能刻意忽略由左至右的運算法則
然後先對後面的運算子做乘除運算阿...

至於計算機算的答案也有是1的
我只能說,演算法也是人去寫的,那個人跟你們一樣混淆
寫出來也是混淆的

當然,這只是觀念混淆而已,不代表甚麼小學畢不畢業
媒體講的話總是愛誇張一點,別放心上氣自己
tandee
9.  tandee (發表於 2011年5月05日 21:26)
PTT有人說的我覺得比較有道理(下文)

因為站在純數角度時一定會把2(1+2)拆開來變成2 ×(1+2)
拆開來以後不管你怎麼挪怎麼動答案永遠是9

站在代數角度來看一定會認為純數不能省略" ×"
故會以代數觀點把2視為(1+2)這個值的係數
導致答案怎麼算永遠都是1
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10.  cccooler (發表於 2011年5月05日 22:36)
我在PTT math 板上看到一篇不錯的文,想轉貼來這裡給對這問題有興趣的網友參考

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作者: peter00151 (夜濁漂) 看板: Math
標題: Re: [其他] 6÷2(1+2)=?
時間: Wed May 4 20:54:58 2011

原文恕刪。

小弟剛去外國網站爬了文一下,
並把此題回答的數學系教授的內容翻譯的一下。
(原文:http://tinyurl.com/6g5jpkv)

我就是一位你要求的大學教授,持有數學博士學位。稍後我會把這算式最簡化,盡可能使這爭議結束。今天已經有10個學生問過我這個問題了。

就像這算式寫的 6÷2(1+2),「÷」號不能分號「/」來做替換,因為在運算上他們有不同的位階與規則。視為相同的話即為非正規運算。

這道算式雖有使用括號,但由於「÷」與「x」同屬相同運算位階,因此這道算式解題一定要經由 「六 除以 二(一加二)」的順序,而不是變成 「二乘以(一加二) 分之 六」的方式去進行運算。 我們看到括號就會先去計算,所以算了之後變成 6÷2(3)的形式。在這個狀況下,括號就失去了他的重要性,因為括號內的數字處於使用括號時最簡化的形式。每個單一的數字(在運算上)其實都只是把括號給省略罷了。

(所以由此可推)

6÷2(3) 可以寫成 (6) ÷ (2)(3) 或者寫成 6÷2*3,

或者反過來以「分數的形式」做反向乘法(正規運算)得以下算式

(6)(1/2)(3)

以上的列式都正確而且都是在講同一件事情。根據PEMDAS規則,


(編按:PEMDAS為
Parentheses【括號】, Exponents【指數】, Multiplication【乘法】, Division【除法】,
Addition【加法】 Subtraction【減法】的縮寫,乘法與除法被列為相同位階。)


既然乘法與除法位階是可以互相替換的,我們便從左邊運算至右。
因此 (3)(3) 或者 3*3= 9

比起有寫的部分,不能因為只是有東西被藏起來就判定算式運算上有特殊的階位運算。

使這道題目一目瞭然,若以完全開展的方式列式即為

(1+1+1+1+1+1 (/) 1) ÷ (1+1 (/) 1) * ((1(/) 1) + (1+1 (/) 1))

(編按:↑這好像就是所謂的建構式數學?)

由此看來,沒有東西被藏起來,所得解一樣為9。

如果「/」號被拿來當作此題的爭議點,那立場上就會變得模稜兩可,因為那個符號可以代表「被除以」 或者可以代表「分數中間的那一條線」。

(編按:我實在不知道它有沒有抽出來講的專有名詞。因為這位教授講的「/」與「分數中間的那一條線」似乎是不同的東西!?有錯請賜教小弟數學很爛XDD)

結論是,本題所使用的是「÷」,所以不能替換成「分數中間的那一條線」。因為如果這麼做就會改變這題的算法並造成這次的爭議。你不能單純就想要所以就去改變一個符號的意義。如果這麼做等於在修改題目。

最終再表明一次,
本題的答案是9。

希望我的學生可以看到這篇之後就可以不用再回答這個問題。

論述終止....希望如此....


資料來源:

9年教學經驗的博士學者
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衛斯理
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12.  衛斯理 (發表於 2011年5月05日 22:51)
╮(╯_╰)╭ 小弟國三 衝基測中
上來看一下就遇到這一題
一開始也答1
沒想到是9 〒ˍ〒
基測前受這種打擊
(謎之音 老子不考啦)

關鍵在於多項式乘法算久了
每個人都會不自覺將
括號算出來的多項式
直接乘括號外的零次多項式
遇到這種問題 也就...
正所謂被一顆小石頭絆倒〒ˍ〒
〒ˍ〒
〒ˍ〒
〒ˍ〒
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14.  cccooler (發表於 2011年5月06日 00:18)
看完數學系教授的說法
我想說說我的拙見,順便回應"由左至右"的指教
那位教授主張答案也是9,不過他好像沒有弄清楚大家爭論的點,
他提出『「÷」號與分號「/」的不同』來做為此題的切入點,
本人才疏學淺無法對此多做討論,
不過我卻十分訝異他將2(3)=(2)(3)=2x3視為如此理所當然,而事實上這正是此題最大的爭議點!
6X=2(3x) 6x^2=(2x)(3x)天經地義
但2x3絕不會有人省略中間那個"X"寫成2(3)或(2)(3)
就如同2x(1+2)不會有人寫成2(1+2)一樣
如果真的出成那樣,不是題目本身的失敗,就是出題者有意誤導
而這麼爛的誤導是不可能存在的,我認為一個出題者若有意誤導答題者,有太多地方可以下手。而不會無聊到在一個"x"號做文章 ,所以這很明顯是題目失敗!
所以我才會說答1或9的都「不全對也不全錯」因為兩種答案背後都自有一套說法。(注意:我沒有說都對!)

「由左至右」的鐵則當然不可能變,變的是答題者切入問題的角度。所以6 ÷ 2 x 2 必然等於6,不會變成6 ÷ (2 x 2)=1.5。
但6÷2(1+2)不同,它不像6÷2x3那般單純,一切的問題都原自於後面那個2(1+2)的解釋各有不同,所以才衍伸出討論空間。
答1的人,把題目想成6÷[2(1+2)]=?
這個想法是來自代數運算6÷2(1x+2y)=6÷(2x+4y)
一般代數運算時,我們會將括號前的數字視為括號內提出的係數
所以優先乘入做運算,不過一般6÷2(1x+2y)還是會寫成這樣6÷[2(1x+2y)]就是了。
答9的人會說,把題目想成6÷[2(1+2)]=?
自己亂加了[]根本就是竄改題目!
但答9的人自己把題目想成6÷2x(1+2)=?又何嘗不是竄改題目?或許有人會說「x號可省略」但那是指代數的範疇3Xa=3a
在純數領棫顯少有人會說6=2(3)吧?那要不要乾脆說6=23算了?(雖然那位教授就是這想用,還用得很自然...)

所以這題的癥結根本不在答題者是否具有國小四則運算的能力,而只是在一個失敗的題目上的解釋各有不同而已,這已經變成「文字遊戲」而非數學!

至於google或計算機算得出答案也只是因為他們的運算程式自動把6÷2(1+2)想成6÷2x(1+2)=9或6÷[2(1+2)]=1,前者如google就是遵遁四則運算原則,後者如CASIO計算機或許就是採用和代數相同的運算邏輯。
絕不是如同"由左至右"所說的「那個寫程式的邏輯混淆」,我只能說一個東西要量產拿出來當商品賣,一定經過相當嚴謹、繁複的測試,絕不可能是一個程式設計師獨斷獨行!

這種問題改天換個數字就可以重出江湖了,一樣還是會爭論不休,因為同樣的問題還是存在,絕對不是教育部長回答9,然後把答1的人貶為國小程度都不如那麼簡單。
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15.  阿宗 (發表於 2011年5月06日 00:32)
不管怎樣 我的老闆只相信計算機
剛剛我算過 6÷2(1+2)=9
6÷2A=9 ;A=(1+2)

所以不得不低頭
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19.  白白 (發表於 2011年5月06日 09:47)
這個爛題目我本來以為T客邦會以比較客觀的角度來看待這件事,
沒想到跟記者一樣,說實在有點失望,
這就是為什麼世界上永遠有爭論的原因,
大家都覺得自己是對的,無法接受另一方的論點。

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