電腦搞定44年的幾何難題！但原來有2個人在25年前就猜對了

電腦程式又為數學家立功了。

最近，來自美國、加拿大、瑞士的4位數學家，用C++和MATLAB程序解出了一個6元105項方程式的59組特殊解。

求解完這個方程式，也就證明了「有理四面體」（rational tetrahedra）總共只有59個「特殊」形狀和2個系列，進而解決了一個44年的數學難題。

而提出這一難題的，正是去年因新冠肺炎而去世的著名數學家約翰·康威（John Conway）。

59 Tetrahedra by Quanta Magazine on Sketchfab

△ 59個「有理四面體」單獨解（圖片來自：QuantaMagazine）

1976年，康威給出了求解該問題的方程式。1995年，兩位數學家找到了其中59組特殊解，但是他們不確定有沒有遺漏。

▲ 有理四面體具有兩組「連續」解和59組單獨解

得益於電腦硬體的發展，現在只用MacBook Pro和幾台Xeon CPU電腦，在幾天內就完成了對所有解的搜索。

結果證明，那兩位數學家在20多年前其實已經得到了完整的答案。

什麼是有理四面體

四面體，顧名思義，就是四個三角形圍成的立體圖形。

四面體每兩個面之間都組成一個二面角。四面體有6條棱，因此有6個二面角。

▲ 四面體中有6個二面角。圖片來源：Poonen手稿

有理四面體是指四面體中的6個二面角都是有理數角度（與180°角的比值是有理數）。

就好像三角形的內角和公式數學公式: a+b+c=180°一樣，四面體的6個二面角之間也有一種關係，只不過這種關係要復雜得多。

定義θij為四面體第i個面與第j個面的夾角（顯然θij=θji），那麼這6個二面角之間的關係可以行列式表示為：

因為是有理四面體，所以θij=Qπ（弧度），Q是有理數。

我們把行列式展開後，會得到一個包含17項的方程式，而且方程式中還有餘弦函數，求解難度很大。

但是數學家們想到了一個巧妙的化簡方法。

歐拉公式

接下來，數學家們用到了「最美數學公式」——歐拉公式——來簡化方程式。

歐拉公式將復數（實數+虛數）的指數函數與三角函數聯繫起來：

i是虛數，即-1的平方根。如果用圖像的方式理解歐拉公式，那就是：

很顯然，無論θ值如何變化，eiθ到0點的距離一定是1。

所以如果我們定義復數：

那麼這個複數一定是在以原點為圓心，半徑為1的圓上。

▲ 方程式z5=1的5個解都在單位圓上現在，方程式裡的三角函數可以用複數來替代了：

這樣，上面的行列式從一個三角函數方程式變成了一個多項式方程式：

但問題也隨之而來，這個方程式總共有105項，而且是一個6元方程式！不過好消息是，我們知道這6個未知數都在那個半徑為1的圓上（稱作「單位根」）。

巧妙的是，複數zij與x軸的夾角θij正好就是四面體的二面角，因此這些解不僅在圓上，與x軸夾角也必須是π弧度的有理數倍。

1995年，在那個沒有性能強勁PC的年代，來自UC柏克萊的Poonen和滑鐵盧大學的Rubinstein通過插入六個有理數的組合，來猜測這個方程式的解，他們總共找到了59組。

這樣做帶來一個問題是：可以找到解，但是不能保證把所有解一網打盡。

一次偶然的碰撞

問題一擱置就是20多年，直到去年3月，Poonen參加了一次講座。

在那一次的講座上，研究數論的數學家Kedlaya介紹了自己的工作：搜索了不同多項式方程式的單位根。

這不就和尋找「有理二面體」的問題等價嗎？

Poonen很快就給Kedlaya發郵件，說明自己的來意：你們研究的「正是我在1990年代需要的東西」。

收到郵件後，Kedlaya與另一位研究單位根的數學家Kolpakov取得了聯繫。另一邊，Poonen也聯繫上了他當年的的老搭檔Rubinstein。

▲ 聯手解決「有理四面體」的四位數學家

四人迅速組團，開始著手工作。

即便現在的電腦性能相比20多年前提升巨大，但想要找到一個6元105向方程式的所有有理數解，還是不可能想像的。

必須要把搜索範圍進一步縮小。

首先，他們「化整為零」。

在新論文中他們證明了，這個105項的複雜多項式方程式可以用多個更簡單的多項式表示，把這個6元方程式轉化成了數百個簡單方程式的集合。

尋找這些較簡單方程式的單位根，比原方程式的搜索範圍小得多。而且由於簡單的方程式與復雜的方程式之間的對應關係，找到一個方程式的根，能幫助找到另一個方程式的根。

搜索上限的問題解決了，但搜索的間隔還是太小，搜索空間依然很龐大，工作無法繼續。

然後，他們的第二步是，利用對稱性進一步壓縮搜索空間。

他們知道方程式的解具有一定的對稱性，如果在區間的一部分上有解，那麼在區間的另一部分上也必須有解。

這樣一來，他們就可以開發出新算法，利用這種對稱性結構來更有效地進行搜索。

經過幾個月的努力，他們完成了任務的分解。除去編程，整個搜索只佔用了幾顆Core與Xeon處理器數小時的時間。

電腦終於找到了所有特殊解，真的只有59個！（另外還有兩組「連續」解。）

現在，他們的演算法已經公佈在GitHub上。

2020年11月，四個數學家把論文發佈到arXiv上，44年後終於用電腦的方法完成了康威的願望。

也算是告慰了康威的在天之靈，他們在論文首頁上寫著：「In memory of John H. Conway」。

後續

解決這個問題後，Poonen本人親自撰寫了一篇科普文章，還和西蒙斯基金會聯合錄製了一段科普影片。

Poonen列c出了三個重要的四面體問題，最早的要追溯到2300多年前亞里斯多德的疑問：什麼樣的四面體能堆滿整個空間？

1900年，數學家大衛·希爾伯特給出了另一個疑問：什麼樣的四面體可以經過有限次的切割重組為一個等體積的立方體？

至於第三個問題，就是剛剛解決的有理二面體問題。而前兩個問題，人們現在還不知道答案。

如果非要問這個有理二面體有什麼實際價值，Poonen給出了一個有趣的案例：

假設我們要在一個星球上建造N個城市，讓這N個城市每兩個之間的距離都是有理數，那麼我們應如何規劃？

（注：指城市之間的球面距離與赤道周長的比值是有理數。）

▲ 如何在星球上建造兩兩距離皆為有理數的城市。圖片來源：Poonen手稿因為有理四面體問題的解決，現在這個問題有兩個方案：

一個是讓赤道上均勻分佈幾個城市，再把剩下兩座城市放在南極北極。

而如果想讓城市在星球上分佈得更均勻一點，也就是上圖右邊的方法，那麼N不能超過30，否則無解。

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