013802857ed3597a38025c9048e54e3e 上一篇水電工講解了一些的聲紋模式,也談到了大多音響研發者追求的聲音。這一期,我們就來看看許多研發者的惡夢「失真」。在進入主題前我們先來談談一些常用來討論的工具,先從頻譜來了解吧!

水電工前輩們發展通訊及訊號處理時,常常會用到頻率的概念,比如AM廣播,就是用可以產生無線電的高頻,直接以乘法器乘上我們要掛載的低頻,之後把高頻濾掉就變回原來低頻訊號。這部分的理論基礎是馬克斯威爾的電磁波理論,往後水電工們都知道只有高頻率的電流變化才會產生無線電。

頻譜與轉換公式

我們可以建立「訊號是包括不同頻率」的基本觀念,在數學線性代數中也證明線性向量空間是可以進行轉換的,也就是說1個函數可以在2個不同基底向量的空間中被對映,但前提是這些基底之間有固定的轉換關係。這也造就了不少的轉換方式,比如拉普拉斯轉換以及傅立葉轉換正餘弦轉換等等。

從訊號到頻譜

在頻譜當中,最常被用到的就是傅立葉轉換,現有的頻譜觀念全部都是由傅立葉轉換而來。傅立葉轉換有個很大的特點,就是在物理上來說,它將1個複雜的訊號,透過積分對映成以自然對數在複數空間為基底的向量空間。看到這別急著把書丟掉,我們講得白話一點,傅立葉轉換就是把時域中的訊號,轉換並排列成由小到大自然對數週期波的組合方式。

假設一個橫軸為時間,縱軸為振幅的訊號s(t),做完傅立葉轉換後取取正值方向得到的結果是A*δ(ωo)+B*δ(ω1)+C*δ(ω2)。那我們就可以說這個訊號原來是由頻率為ωo、ω1、ω2、的三個波所組成,而頻率為ωo的波所占能量大小為A,頻率為ω1的波所占能量大小為B,頻率為ω2的波所占能量大小為C。另外,我們處理圖形和音樂壓縮常用的餘弦轉換法,則是把時間軸換成頻率由低到高的cos波。

▲基底轉換對映看起來很複雜實則不然,好比圖A的X軸,若是換成X/2基底,就成了圖B,剛剛好寬度變成1倍,圖B的右半部曲線超過圖片範圍因此沒畫出來

頻譜基礎傅立葉轉換

由於自然對數在複數空間的循環、物理和數學上有其特殊性,所以傅立葉轉換也成為分析頻譜的最佳方式。可將所得到的時間與能量組合的訊號圖,轉成為由正弦波頻率以及能量組合的訊號圖。它是不是這麼好用呢?我們來看看範例,水電工用了4組正弦及餘弦波做出如圖C這亂八糟的訊號。但是做完傅立葉分析後馬上就得到更清晰的結果。原來這是由頻率為1、3、6、40的4組能量波組成的訊號,做處理後可分析地一清二楚。另外,若我們認為頻率最高的那個波是雜訊,像是圖D中為頻率40的波,我們把它去除掉後再做反傅立葉轉換,就能得到其它3組我們要的訊號,結果就是圖E。

▲這是水電工組合了4組不同訊號的怪波形,X軸是時間,Y軸則是振幅,未經過轉換無法看出訊號內容

▲經過傅立葉轉換後,可看出圖C的訊號內有4組不同的能量,分別在頻率1、3、6、40處

▲若要清除雜訊,假設雜訊是頻率40,將頻率40設為0,再透過反轉換就能得到去除雜訊的波形圖

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