數學界最大的謎團：日本數學家望月新一的論文與無法測透的證明

上週數學界發生一件大事： Peter Scholze 和 Jakob Stix 相信他們發現望月新一所作 ABC 猜想證明的一處致命缺陷。二者已在望月及其同事所在的京都大學進行了為期一週的訪問，他們的報告認為 ABC 猜想並未得證。不過望月本人並不買帳，他在個人網站上貼出了反駁，認為 Scholze 和 Jakob 的對其證明的批評存在「某種根本上的誤解」。我們就來回顧一下，數學界的傳奇大師望月新一，以及他的 ABC 猜想證明有多令數學界頭痛。

當有數學家宣稱解開了某一知名的猜想，卻沒有人能解讀，那數學界該怎麼反應？任職於京都大學的數學家望月新一（Shinichi Mochizuki），在 2012 年於其個人網站刊登出四篇論文，共五百多頁，宣稱已證明數論中很重要卻未被證實的猜想「ABC 猜想」（ABC conjecture）。但從論文發表至今，每個曾嘗試解讀此證明的數學同行，在經過一段時間的努力後，都只能絕望的放棄。

數學界在過去幾十年中，曾出現幾件轟動一時的大新聞。1994 年，懸宕近三百年的費馬最後定理被英國數學家懷爾斯（Andrew John Wiles）解開，2003 年，龐加萊猜想由俄羅斯隱士數學家裴瑞爾曼（Grigori Yakovlevich Perelman）所破解，而最為大眾所熟知的是在2013年，當時仍名不見經傳的華人數學家張益唐，證明存在無窮多對質數距離都小於 7000 萬。望月新一在幾年前提出 ABC 猜想的證明時，也讓數學界震撼不已，許多國際知名媒體都曾大幅報導。

ABC 猜想與其意義

ABC 猜想是在 1980 年代分別由兩位數學家分別提出，它的內容其實不難理解。假設有三個正整數 a、b、c，滿足 a+b=c，三數互質（沒有大於 1 的公因數）。令 d 為 a、b、c 三數的質因數乘積，那 d 通常會比 c 大。舉例來說，a=3，b=7，c=3+7=10，a、b、c 三數互質，d=3×7×2×5=210，d>c。

ABC 猜想為何如此重要，主要有兩個原因。一是從直覺來說，a 和 b 的質因數與兩者加總的質因數應該沒有任何關係，但此猜想卻將它們連在一起，意味著如果 a 和 b 能被許多數值較小的質數分解，那能分解 c 的質數將很少且較大。往前推一步，如果 ABC 猜想被證明是正確的，將顛覆我們一般認知──在加法和乘法的代數交互上，會產生無限可能和不可解問題，換句話說，在加法、乘法和質數之間，一定存在人類未曾觸及過的某種關聯。

另一個原因是 ABC 猜想能證實許多知名且尚未解決的難題，例如費馬最後定理的推廣猜想、Mordell 猜想、Erdős–Woods 猜想等。此外 ABC 猜想還能間接推導並簡化很多已被證明的重要定理，比如懷爾斯用幾百頁的篇幅證明了費馬最後定理，但如果 ABC 猜想被證明，那麼要證明費馬最後定理只需一頁的篇幅。ABC 猜想在數論的應用非常廣，甚至可以衍生證明超過二十個定理。

令數學界困惑的論文

望月新一自小是天才兒童，16 歲就讀美國普林斯頓大學數學系，19 歲畢業，22 歲拿到數學博士學位。他在二十幾歲時就在遠阿貝爾幾何（Anabelian geometry）領域做出重大貢獻，還被邀請到四年一度的國際數學家大會上演講。但在 1988 年他突然消失於數學界，潛心研究 ABC 猜想，他所使用的數學工具，正是遠阿貝爾幾何。在苦心研究二十幾年後，望月以自己獨創的「宇宙際Teichmüller」（Inter-Universal Teichmüller）理論，證明出 ABC 猜想。

▲ 望月新一教授。（Source：Naver）

但當數學界興致勃勃的想要解讀望月的論文，卻發現裡面的所有公式就像來自未來的產物，整篇論文就像天書一樣，所有的概念與定義都無法連結到現有的語言或技術；再加上作者一些古怪的堅持，不想在大眾面前發表、不想到處旅行解釋他的發現等。種種的一切讓這份論文越難被解讀。

有鑑於過去望月在數學領域非常細膩與傑出的研究，數學界並沒有將它束之高閣，或乾脆視它為「不可能成功」的證明，而是為此舉辦會議，招聚當今世界頂尖的數學家共同討論。由克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）與牛津大學數學研究所共同資助的研討會，雖然望月沒有與會，卻有許多優秀的理論學家或算數幾何學家參與其中，但會議宗旨並非去證明望月的論文是對的，而是去裝備這群人，讓他們有足夠的背景知識來閱讀望月的論文。

「但會議的結果卻令人感到挫折」，參與其中的佛羅里達大學數學教授 Knudson 指出。特別是在會議最後兩天，底下的聽眾一再要求提出說明性例子，講者卻只能再次保證那不知何時能兌現的諾言。Knudson 認為，對於探索望月論文中的未知世界，數學家看起來沒有多少耐心，但或許還是能激發出一些人想要更深入挖掘的動力。

根據望月自己的說法，要讀懂他的論文，數學所研究生需要花 10 年左右的時間，英國諾丁漢大學數論學家 Fesenko 則表示，就算是學有專精的算數幾何學家，也要花上 500 小時才能看懂。而到目前為止，全世界只有四位數學家表示能完全讀懂所有的證明。

孤寂的天才

望月可說是孤寂的天才。熟識他的人說，望月並非天生性格內向，但他非常專注於自己的數學研究中。這對許多成名甚早，往後卻因過多的榮耀與邀約，而失去通透心靈的數學家而言，望月能在人生達到第一次學術高峰時，斷然遠離會令其分心的學界，追求研究上的卓越，可說是相當不容易。或許他明白要遠離人群，獨自在數學理論中遨遊，才有機會更上層樓，解開宇宙中最深邃難解的謎題。

但可惜的是，望月卻忽略一件事，他忘記偉大的研究是需要讓眾人理解，也需要花費心思去解釋，否則只會讓一切的努力枉然，也將想要更進一步認識他的人阻擋於牆外。就如同牛津大學教授 Minhyong Kim 對望月的行事作風所下的評論：「當沉浸在自己的理論世界太久，會察覺不到他人所發出的困惑，因為你先入為主地假設了所有人都明白很多基礎知識。」

（首圖來源：Flickr/Tom Brown CC BY 2.0）